CÁCH TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO NHANH NHẤT

     
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số con đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. định nghĩa ma trận nghịch hòn đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cung cấp n được call là ma trận đơn vị chức năng nếu A.I = I.A = A, với đa số ma trận vuông A cấp cho n

Ta phân biệt ma trận trên là tồn tại. Thiệt vậy, ma trận thỏa đk trên bao gồm dạng sau:


*

Ma trận đơn vị chức năng cấp n

Ngoài ra, ma trận đơn vị chức năng là duy nhất. Thiệt vậy, giả sử gồm hai ma trận đơn vị I với I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị nên I.I’ = I’.I = I’

và I’ là ma trận đơn vị nên I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là 1 trong ma trận vuông cấp n bên trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, nếu như tồn trên một ma trận B vuông cung cấp n trên K sao cho: A.B = B.A = In. Lúc đó, B được call là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký kết hiệu A-1.Bạn đã xem: Ma trận nghịch hòn đảo 4x4

Như vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 thừa nhận xét:

1. Ma trận nghịch hòn đảo là duy nhất, vì giả sử trường thọ ma trận C vuông cấp cho n cũng là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, tức là A lại là ma trận nghịch đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện nay tại, có không ít giáo trình nước ngoài đã đề cập đến khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ.Bạn đã xem: biện pháp tìm ma trận nghịch hòn đảo nhanh nhất

Thật vậy, mang đến A là ma trận cung cấp m x n trên trường số K. Lúc đó, ta bảo A là khả nghịch trái nếu như tồn tại ma trận L cung cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải nếu tồn tại ma trận R cấp n x m sao cho: A.R = Im. Cùng khi đó, đương nhiên A khả nghịch trường hợp A khả nghịch trái cùng khả nghịch phải.

Bạn đang xem: Cách tìm ma trận nghịch đảo nhanh nhất

4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận không không khả nghịch.

1.4 các ví dụ:

Xét các ma trận vuông thực, cấp 2 sau đây:


*

Ta có: A.B = B.A = I2. Vì đó: A, B là khả nghịch và A là nghịch đảo của B; B là nghịch đảo của A

Ma trận C không khả nghịch vì với mọi ma trận vuông cung cấp 2 ta những có:


*

2. Tính chất:

1. Ví như A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch và (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu như A khả nghịch thì ATkhả nghịch cùng (AT)-1= (A-1)T

(Bạn hãy thừ chứng tỏ kết quả trên nhé)

3. Mối quan hệ giữa ma trận khả nghịch và ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp cho n trên K (n ≥ 2) được gọi là ma trận sơ cung cấp dòng (cột) giả dụ E chiếm được từ ma trận đơn vị In bời đúng 1 phép thay đổi sơ cấp dòng (cột). Những ma trận sơ cấp dòng hay cột gọi bình thường là ma trận sơ cấp.

Xem thêm: Tất Tần Tật Thông Tin Cách Bố Trí Phòng Thờ Trong Nhà Ống Rước Tài Lộc

3.2 Tính chất: đầy đủ ma trận sơ cấp loại (hay cột) gần như khả nghịch và nghịch đảo của nó lại là một ma trận sơ cung cấp dòng.

Ta rất có thể kiểm tra trực tiếp tác dụng trên bởi thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp dạng 1: nhân 1 chiếc của ma trận đơn vị chức năng với α ≠ 0


*

Ma trận sơ cấp dạng 1


*

Ma trận sơ cung cấp dạng 2

Ma trận sơ cấp cho dạng 3

3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cung cấp n bên trên K (n ≥ 2). Lúc đó, các khẳng định sau đó là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận thấy từ A bởi một vài hữu hạn những phép biến hóa sơ cấp mẫu (cột)

3. A là tích của một trong những hữu hạn các ma trận sơ cấp

(Bạn đọc rất có thể xem minh chứng định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cung cấp n trên K (n ≥ 2). Lúc đó, các xác minh sau đấy là tương đương:

1. A khả nghịch khi và chỉ khi dạng chính tắc của A là In

2. Ví như A khả nghịch thì In nhận thấy từ A bởi một số hữu hạn những phép chuyển đổi sơ cấp chiếc (cột); đồng thời, bao gồm dãy các phép đổi khác sơ cấp cái (cột) này sẽ biến In thành nghịch đảo của ma trận A.

Xem thêm: Vòng Quay Định Mệnh Tại Suối Bán Nguyệt Có Thể Quay Ra Trang Phục Nào? ? ? ?

4. Thuật toán Gausβ – Jordan tìm kiếm ma trận nghịch hòn đảo bằng phép biến đổi sơ cấp:

Ta áp dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm nghịch đảo (nếu có)của ma trận A vuông cung cấp n trên K. Thuật toán này được xây dừng dựa vào hiệu quả thứ 2 của hệ trái 3.4. Ta thực hiện công việc sau đây

Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị cấp n I vào bên buộc phải ma trận A

Lập ma trận đưa ra khối cung cấp n x 2n

– nếu như A’ = In thì A khả nghịch với A-1 = B

– trường hợp A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, trong thừa trình biến hóa nếu A’ xuất hiện ít độc nhất vô nhị 1 dòng không thì lập tức tóm lại A không khả nghịch (không cần được đưa A’ về dạng thiết yếu tắc) và kết thúc thuật toán.

Ví dụ minh họa: áp dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm ma trận nghịch đảo của: